FORMULES de PHYSIQUE
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ECOULEMENT des LIQUIDES RéELS
-écoulement des liquides réels
VOCABULAIRE
Une ligne de courant est le lieu géométrique des tangentes en chaque point du vecteur vitesse instantanée.Quand le régime est stationnaire (ou permanent), la vitesse est la même et une ligne de courant est alors la trajectoire d’une particule du fluide
Fluidité et viscosités (ciném. et dynam.): voir les chapitres spéciaux pour ces grandeurs
Le rayon hydraulique (pour un canal) est lh = S / lp
avec S(m²)= section du profil transversal, mouillée par le flux et lp(m) le périmètre mouillé
Fluides spéciaux: la loi de Newton ci-dessous n’est plus valable pour des fluides composites (billes de solides dans liquide, ou colloïdes, ou polymatériaux plus ou moins hétérogènes)
Tirant d'eau : hauteur immergée d'un bateau (entre quille et ligne de flottaison)ÉCOULEMENT LAMINAIRE
Un liquide réel (en canal quelconque) considéré comme incompressible, a un écoulement laminaire, régulier, sans dislocation intime, mais avec frottements
Laminaire signifie que les couches du fluide se déplacent (se superposent) parallèlement entre elles, sans se mélanger
L'écoulement dans les canaux (comme dans les tuyauteries) est laminaire dès lors que le nombre de Reynolds est inférieur à 2100 (et exceptionnellement pour beaucoup plus)
-équation de continuité (loi de conservation du débit)
(v.S) = Q = débit-volume constant
où v et S sont la vitesse et la section en quelque coupe que ce soit
-pertes de charges
Equation générale de Navier-Stokes (pertes de charges)
pour un fluide incompressible, mais visqueux (l’équation d’Euler en est un
cas particulier) >> ρ'.dv / dt = F / V - grad.p + η.Δ.v
avec p(P)= pression
F(N)= forces extérieures
t(s)= temps
ρ'(kg/m3)= masse volumique et V(m3)= volume
η(pl ou Pa-s)= viscosité dynamique
Δ = Laplacien de la vitesse v (c’est à dire ses dérivées secondes par rapport à la longueur)
FORCES en CAUSE dans un tel ECOULEMENT
-loi de Newton (dite 3° loi de Newton)
Elle exprime le frottement des couches de fluide entre elles, dans un écoulement laminaire :
Ff = η.S.grad.v ou p = η.grad.v
avec Ff(N)= force de frottement dans un écoulement laminaire (des couches entre elles) d'un fluide ayant une viscosité dynamique η(pl)
S(m²)= aire de la couche frottant sur les autres, parallèlement à son déplacement
v(m/s)= vitesse d’écoulement et p(Pa)= pression (contrainte de cisaillement)
Le gradient de v est la dérivée de la vitesse par rapport à la longueur
Ff est d’autant plus importante que la viscosité η est forte
En pratique, ceci signifie qu'un fluide s'écoule indépendamment des forces extérieures. N'entrent en jeu que sa viscosité (influencée par la température) et sa vitesse d'écoulement.
Quand la viscosité est faible, on dit qu'il s'agit d'un ''fluide newtonien'' par exemple les gaz usuels (dont l'air) et les liquides légers (dont l'eau)
-force hydrodynamique (avancement) dans un liquide :
Le déplacement d’une surface dans un fluide avec un certain angle d’attaque par rapport au vecteur vitesse du fluide rencontré, crée une aspiration (en partie supérieure) et une dépression (en partie inférieure).
La force créant ces variations de pression se décompose en:
Traînée (composante horizontale) et Portance (composante verticale)
C'est l'équivalent de l'effet de sol pour les gaz >> force de sustentation
F = S.(p2 - p1) les p(Pa) étant les pressions et S(m²) la surface
-coefficient de traînée (Cx)
Coefficient (sans dimension) intervenant dans la composante -sur l'axe des (x)- de la poussée sur un corps solide se déplaçant dans un fluide
Cx = 2F / Sm.ρ'.v²
avec Sm(m²)= maître-couple du corps se déplaçant à une vitesse v(m/s)
ρ'(kg/m3)= masse volumique du fluide dans lequel évolue le corps
F(N)= résistance de traînée (une force)
le coefficient numérique 2 provient de l’énergie cinétique en cause
Cx est noté Cd en anglais (pour coefficient drag)
ses valeurs pratiques sont 0,001 (planche parallèle au mouvement)--0,03 à 0,05(avions supersoniques)--0,01(sphère lisse)--0,2 à 0,7(avions subsoniques ou bateaux)--0,35(voitures automobiles)--0,50(sphère rugueuse)--1(sportif en déplacement très rapide)--2(obstacle anguleux, genre brique)
-nombre de Froude (nF sans dimension) : pour un flux (écoulement) liquide, c’est le rapport entre les forces d’inertie et les forces de gravité (pesanteur) qui s’appliquent sur la masse de liquide en cause.
Le nombre de Froude est utilisé :
a)) pour l’estimation des sillages de bateaux
nF = v / [ l.g]1/2 où v (m/s) est la vitesse, g (m/s²) la pesanteur, l (m) la hauteur de tirant d'eau moyen
Cette formule s'écrit nF = 0,1642 v / [ l ]1/2 si v est exprimé en noeuds et l en mètres
b)) pour la définition du régime d’un cours d’eau
Ce régime est : soit fluvial normal si nF < 1
soit critique si nF = 1
soit supercritique (ou torrentiel) si nF > 1
Sa valeur se calcule par la formule alors nF = [Q'².l / g.S3] où Q'(m3/s) est le débit, l(m) la largeur du lit, g (m/s²) la pesanteur et S (m²) la section du cours d'eau
Si la section est rectangulaire, on a nF = Q' / (g.l3)1/2 où l est la largeur du lit
c)) en météo montagneuse
Sa valeur est alors donnée par si nF = va / lh. (g.dΘ / lh.Θ)1/2
où va est la vitesse de l'air, lh la hauteur au-dessus du sol, Θ la température, g la pesanteur
-les NOMBRES de Wood, de Lewis, de Richardson, de Reech.... sont d'autres nombres -moins usuels- qui concernent les fluides
-résistance à l’avancement (ou à l’écoulement) dans un fluide visqueux
Loi de Stokes : F = η.S.v / (Ko.eK1 /T).l
où F(N)= force résistant au déplacement d’une surface S(m²) de déplaçant parallèlement à elle-même-- en fluide visqueux à une vitesse v -faible-(en m/s)
η(pl)= viscosité dynamique du fluide
Ko et K1 sont des constantes numériques, caractéristiques de la substance et de la température
l(m)= longueur du déplacement
T(K)= température absolue
DEBIT dans un écoulement
C'est toujours Q = V / t ou encore Q = v.S
où V= volume, S= section, v= vitesse, t= temps
VITESSE MOYENNE du flux
Elle est donnée par des formules empiriques aboutissant à dire qu’en pratique la vitesse dans le cœur du courant est de l’ordre de 80 à 90 % de celle de la surface au centre
Formule de Chézy (pour des écoulements constamment uniformes):
v = F'f .(lh.yn)1/2
où v(m/s)= vitesse d'écoulement
F'f(dimension L1/2.T-1)= facteur de friction de Chézy
lh(m)= rayon hydraulique (= section du profil transversal, mouillée par le flux, divisé par lp le périmètre mouillé)
yn(nombre)= pente (tangente) de l'écoulement
Le facteur de Chézy est fonction de la rugosité et diverses formules (de Bazin, de Kutter, de Manning-Stricker, de Powell) en donnent des formes de calcul approché
Le débit dans ce cas est Q = K.S.lh 2/3.yn1/2 avec K= coefficient de Stricker, qui vaut (en unités S.I.+) >> pour des parois en béton (75 à 90), pour parois en terre(50 à 60), pour rivière large(30 à 40), pour rivière étroite (15) et pour passage en forêt : 40% de moins que les valeurs citées ci-avant
ECOULEMENTS TOURBILLONAIRES
Un écoulement n'est pas tourbillonnaire, si le rotationnel de la vitesse est nul >>> (c'est la condition de Helmholtz)
Quand il y a exemption de tourbillon, on dit que l'écoulement est irrotationnel
Un écoulement tourbillonnaire (ou à turbulence) implique :
a))-des forces de frottement (loi de Newton)
Ff = η.S.grad.v
où Ff(N)= force de frottement dans un écoulement laminaire (des couches entre elles)
η(pl)= viscosité dynamique
S(m²)= aire de la couche frottant sur les autres, parallèlement à son déplacement
v(m/s)= vitesse d’écoulement >>> son gradient est dv/dl
b))-des forces de pression
Fp = Δp.S
où Δp(Pa)= différence de pression entre face aval et face amont de l’écoulement
c))-des forces globales (forces de résistance)
Fr = Ff + Fp
d))-le coefficient de résistance ycx (nombre dit de Frauning) dépend des caractéristiques physiques du corps (rugosité, élasticité....).et de la viscosité
Il est égal au rapport des forces : ycx = Fr / S.v².ρ'
avec Fr(N)= force de résistance (vue ci-dessus)
S(m²)= maître-couple du corps (section droite de l'écoulement)
v(m/s)= vitesse de l’écoulement
ρ'(kg/m3)= masse volumique du fluide où se situe l’écoulement
ycx vaut de 30 à 60%
e))-les modèles réduits
un écoulement réel est étudié en laboratoire, au moyen d’éléments réduits du phénomène (soufflerie, barrage miniature...)
La proportionnalité doit être fonction des dimensions structurelles des grandeurs réduites
f))-les pertes de charge sont, comme d'habitude, des diminutions de pression MENT en CONDUITES (ou tubes et tuyaux)
Voir chapitre circuit hydraulique OULEMENT ENTRE PLAQUES PARALLÈLES
-la formule donnant le champ de vitesses devient:
v = vo(1 - 4lt/ lp²) avec vo= lp².dp / 8η.dld
lp(m)= espace entre plaques
ld (m)= distance du filet de liquide considéré par rapport au plan moyen
η(pl)= viscosité dynamique
p(Pa)= pression
vo = vitesse maxi (qui existe seulement dans le plan équidistant des 2 plaques)
L'EFFET COANDA exprime le phénomène où un fluide en écoulement heurte un objet convexe large, et s'enroule sur celui-ci (3° loi de Newton)
Exemple d'un bec verseur large, qui bave
INFLUENCE de la TEMPÉRATURE en ECOULEMENT
On utilise ici le nombre de Rayleigh :
na= α'.g.ΔT.t3/ ν.β'
où na= nombre de Rayleigh
α'(K-1)= coefficient de variation isobare
g(m/s²)= pesanteur
ΔT(K)= différence de température entre la paroi et le centre de l'écoulement,
ν(m²/s)= viscosité cinématique
β'(Pa-1)= compressibilité isotherme
La valeur critique du nombre na est de 1500 (au-dessous, un quelconsue fluide reste immobile)
Sa valeur dans le manteau terrestre est de # 5.108 donc, bien que ce soient des roches, la convection est possible
Sa valeur dans un espace confiné peut atteindre 1011