ECOULEMENT des LIQUIDES RéELS

-écoulement des liquides réels

VOCABULAIRE

Une ligne de courant est le lieu géométrique des tangentes en chaque point du vecteur vitesse instantanée.Quand le régime est stationnaire (ou permanent), la vitesse est la même et une ligne de courant est alors la trajectoire d’une particule du fluide

Fluidité et viscosités (ciném. et dynam.): voir les chapitres spéciaux pour ces grandeurs

Le rayon hydraulique (pour un canal) est l= S / lp

avec S(m²)= section du profil transversal, mouillée par le flux et lp(m) le périmètre mouillé

Fluides spéciaux: la loi de Newton ci-dessous n’est plus valable pour des fluides composites (billes de solides dans liquide, ou colloïdes, ou polymatériaux plus ou moins hétérogènes)

Tirant d'eau : hauteur immergée d'un bateau (entre quille et ligne de flottaison)ÉCOULEMENT LAMINAIRE

Un liquide réel (en canal quelconque) considéré comme incompressible, a un écoulement laminaire, régulier, sans dislocation intime, mais avec frottements

Laminaire  signifie que les couches du fluide se déplacent (se superposent) parallèlement entre elles, sans se mélanger

L'écoulement dans les canaux (comme dans les tuyauteries) est laminaire dès lors que le nombre de Reynolds est inférieur à 2100 (et exceptionnellement pour beaucoup plus)

 

-équation de continuité (loi de conservation du débit)

(v.S) = Q = débit-volume constant

où v et S sont la vitesse et la section en quelque coupe que ce soit

-pertes de charges

Equation générale de Navier-Stokes (pertes de charges)

pour un fluide incompressible, mais visqueux (l’équation d’Euler en est un

cas particulier) >> ρ'.dv / dt = / V - grad.p + η.Δ.v

avec p(P)= pression

F(N)= forces extérieures

t(s)= temps

ρ'(kg/m3)= masse volumique et V(m3)= volume

η(pl ou Pa-s)= viscosité dynamique

Δ = Laplacien de la vitesse v (c’est à dire ses dérivées secondes par rapport à la longueur)

 

FORCES en CAUSE dans un tel ECOULEMENT

-loi de Newton (dite 3° loi de Newton)

Elle exprime le frottement des couches de fluide entre elles, dans un écoulement laminaire :

F= η.S.grad.v    ou    p = η.grad.v 

avec Ff(N)= force de frottement dans un écoulement laminaire (des couches entre elles) d'un fluide ayant une viscosité dynamique  η(pl)

S(m²)= aire de la couche frottant sur les autres, parallèlement à son déplacement

v(m/s)= vitesse d’écoulement et p(Pa)= pression (contrainte de cisaillement)

Le gradient de v est la dérivée de la vitesse par rapport à la longueur

Ff est d’autant plus importante que la viscosité η est forte

 

En pratique, ceci signifie qu'un fluide s'écoule indépendamment des forces extérieures. N'entrent en jeu que sa viscosité (influencée par la température) et sa vitesse d'écoulement.

 

Quand la viscosité est faible, on dit qu'il s'agit d'un ''fluide newtonien'' par exemple les gaz usuels (dont l'air) et les liquides légers (dont l'eau)

 

-force hydrodynamique (avancement) dans un liquide :

Le déplacement d’une surface dans un fluide avec un certain angle d’attaque par rapport au vecteur vitesse du fluide rencontré, crée une aspiration (en partie supérieure) et une dépression (en partie inférieure).

La force créant ces variations de pression se décompose en:

Traînée (composante horizontale) et Portance (composante verticale)

C'est l'équivalent de l'effet de sol pour les gaz >> force de sustentation

F = S.(p- p1)  les p(Pa) étant les pressions et S(m²) la surface

-coefficient de traînée (Cx)

Coefficient (sans dimension) intervenant dans la composante -sur l'axe des (x)- de la poussée sur un corps solide se déplaçant dans un fluide

C= 2/ Sm.ρ'.v²

avec Sm(m²)= maître-couple du corps se déplaçant à une vitesse v(m/s)

ρ'(kg/m3)= masse volumique du fluide dans lequel évolue le corps

F(N)= résistance de traînée (une force)

le coefficient numérique 2 provient de l’énergie cinétique en cause

Cx est noté Cd en anglais (pour coefficient drag)

ses valeurs pratiques sont 0,001 (planche parallèle au mouvement)--0,03 à 0,05(avions supersoniques)--0,01(sphère lisse)--0,2 à 0,7(avions subsoniques ou bateaux)--0,35(voitures automobiles)--0,50(sphère rugueuse)--1(sportif en déplacement très rapide)--2(obstacle anguleux, genre brique) 

-nombre de Froude (nF sans dimension) : pour un flux (écoulement) liquide, c’est le rapport entre les forces d’inertie et les forces de gravité (pesanteur) qui s’appliquent sur la masse de liquide en cause.

Le nombre de Froude est utilisé :

a)) pour l’estimation des sillages de bateaux  

nF = v / [ l.g]1/2   où v (m/s) est la vitesse, g (m/s²) la pesanteur, l (m) la hauteur de tirant d'eau moyen

Cette formule s'écrit nF = 0,1642 v / [ l ]1/2  si v est exprimé en noeuds et l en mètres

b)) pour la définition du régime d’un cours d’eau

Ce régime est : soit fluvial normal si nF < 1

soit critique si nF = 1

soit supercritique (ou torrentiel) si nF > 1

Sa valeur se calcule par la formule alors nF = [Q'².l / g.S3] où Q'(m3/s) est le débit, l(m) la largeur du lit, g (m/s²) la pesanteur et S (m²) la section du cours d'eau

Si la section est rectangulaire, on a nF = Q' / (g.l3)1/2 où l est la largeur du lit

c)) en météo montagneuse

Sa valeur est alors donnée par si nF = va / lh. (g.dΘ / lh.Θ)1/2

où va est la vitesse de l'air, lh la hauteur au-dessus du sol, Θ la température, g la pesanteur

 

-les NOMBRES de Wood, de Lewis, de Richardson, de Reech.... sont d'autres nombres -moins usuels- qui concernent les fluides

-résistance à l’avancement (ou à l’écoulement) dans un fluide visqueux

Loi de Stokes : = η.S.v / (Ko.eK1 /T).l

F(N)= force résistant au déplacement d’une surface S(m²) de déplaçant parallèlement à elle-même-- en fluide visqueux à une vitesse v -faible-(en m/s)

η(pl)= viscosité dynamique du fluide

Ko et K1 sont des constantes numériques, caractéristiques de la substance et de la température

l(m)= longueur du déplacement

T(K)= température absolue

 

DEBIT dans un écoulement

C'est toujours Q = V / t   ou encore   Q = v.S

où V= volume, S= section, v= vitesse, t= temps

 

VITESSE MOYENNE du flux

Elle est donnée par des formules empiriques aboutissant à dire qu’en pratique la vitesse dans le cœur du courant est de l’ordre de 80 à 90 % de celle de la surface au centre

Formule de Chézy (pour des écoulements constamment uniformes):

v = F'f .(lh.yn)1/2

où v(m/s)= vitesse d'écoulement

F'f(dimension L1/2.T-1)= facteur de friction de Chézy

lh(m)= rayon hydraulique (= section du profil transversal, mouillée par le flux, divisé par lp le périmètre mouillé)

yn(nombre)= pente (tangente) de l'écoulement

Le facteur de Chézy est fonction de la rugosité et diverses formules (de Bazin, de Kutter, de Manning-Stricker, de Powell) en donnent des formes de calcul approché

Le débit dans ce cas est Q = K.S.lh 2/3.yn1/2 avec K= coefficient de Stricker, qui vaut (en unités S.I.+) >> pour des parois en béton (75 à 90), pour parois en terre(50 à 60), pour rivière large(30 à 40), pour rivière étroite (15) et pour passage en forêt : 40% de moins que les valeurs citées ci-avant

ECOULEMENTS TOURBILLONAIRES

Un écoulement n'est pas tourbillonnaire, si le rotationnel de la vitesse est nul >>> (c'est la condition de Helmholtz)

Quand il y a exemption de tourbillon, on dit que l'écoulement est irrotationnel

 

Un écoulement tourbillonnaire (ou à turbulence) implique :

a))-des forces de frottement (loi de Newton)

F= η.S.grad.v

Ff(N)= force de frottement dans un écoulement laminaire (des couches entre elles)

η(pl)= viscosité dynamique

S(m²)= aire de la couche frottant sur les autres, parallèlement à son déplacement

v(m/s)= vitesse d’écoulement >>> son gradient est  dv/dl

b))-des forces de pression

F= Δp.S

Δp(Pa)= différence de pression entre face aval et face amont de l’écoulement

c))-des forces globales (forces de résistance)

F= F+ Fp

d))-le coefficient de résistance ycx (nombre dit de Frauning) dépend des caractéristiques physiques du corps (rugosité, élasticité....).et de la viscosité

Il est égal au rapport des forces : ycx = F/ S.v².ρ'

avec Fr(N)= force de résistance (vue ci-dessus)

S(m²)= maître-couple du corps (section droite de l'écoulement)

v(m/s)= vitesse de l’écoulement

ρ'(kg/m3)= masse volumique du fluide où se situe l’écoulement

ycx vaut de 30 à 60%

e))-les modèles réduits

un écoulement réel est étudié en laboratoire, au moyen d’éléments réduits du phénomène (soufflerie, barrage miniature...)

La proportionnalité doit être fonction des dimensions structurelles des grandeurs réduites

f))-les pertes de charge sont, comme d'habitude, des diminutions de pression MENT en CONDUITES (ou tubes et tuyaux)

Voir chapitre circuit hydraulique OULEMENT ENTRE PLAQUES PARALLÈLES

-la formule donnant le champ de vitesses devient:

v = vo(1 - 4lt/ lp²)         avec   vo= lp².dp / 8η.dld

lp(m)= espace entre plaques

ld (m)= distance du filet de liquide considéré par rapport au plan moyen

η(pl)= viscosité dynamique

p(Pa)= pression

vo = vitesse maxi (qui existe seulement dans le plan équidistant des 2 plaques)

L'EFFET COANDA  exprime le phénomène où un fluide en écoulement heurte un objet convexe large, et s'enroule sur celui-ci (3° loi de Newton)

Exemple d'un bec verseur large, qui bave

 

INFLUENCE de la TEMPÉRATURE en ECOULEMENT

On utilise ici le nombre de Rayleigh :

na= α'.g.ΔT.t3/ ν.β' 

na= nombre de Rayleigh

α'(K-1)= coefficient de variation isobare

g(m/s²)= pesanteur

ΔT(K)= différence de température entre la paroi et le centre de l'écoulement,

ν(m²/s)= viscosité cinématique

β'(Pa-1)= compressibilité isotherme

La valeur critique du nombre na est de 1500 (au-dessous, un quelconsue fluide reste immobile)

Sa valeur dans le manteau terrestre est de # 5.10donc, bien que ce soient des roches, la convection est possible

Sa valeur dans un espace confiné peut atteindre 1011

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